一、幻和与中心数

三阶幻方是最浅易的幻方，又叫九宫格，是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵。其对角线（斜）、横行、竖列的和王人特殊，这个和数称为幻和；位于幻方中心的数称为中心数（图一a5）。

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图一

二、三阶幻方的规矩和性质

1、轻易相交的两线（横竖斜），交点以外的其他两数和特殊。

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图二

如图二，两红线交于a1，恒有a4+a7=a5+a9。

2、幻和便是中心数的3倍。

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图三

如图三，过幻和中心共有4条线，记幻和为b。由红蓝绿3线可得a3+a7+a5=b，a2+a8+a5=b和a1+a9+a5=b。从而有(a3+a2+a1)+(a7+a8+a9)+3a5=3b，也即有3a5=b。

3、三角性质：两侧边中间数的和便是剩余两侧边交叉数的2倍。

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图四

如图四中红色△极点三数相干，恒有a2+a6=2a7。图四中红色△也称为“铁三角”。

4、轻易过幻方中心的线，其两头数字和便是中心数的2倍。

如图三蓝线，恒有a2+a8=2a5。

三、细则型三阶幻方、不定三阶幻方

若三阶幻方有惟一解，则称其为细则型三阶幻方。反之，若其解不唯一，则称其为不定三阶幻方。

这里“幻方的解惟一”是指，爽气幻方的9个数字的取值是惟一的，与数字的位置（或组合）无关。换言之，任给一组爽气幻方的数字，若调动其位置后，其横竖斜和仍特殊，则视“调动位置后的解”和“调动位置前的解”为并吞解。

一般来说，中心数与幻和均未知的三阶幻方，至少需已知三个数才会是细则型的。

但即便已知三个数，也有可能为不定三阶幻方。

四、中心数、幻和均未知三阶幻方的分类求解：已知三数

依据已知三数所处位置不同，分为如下6类：

1、已知三数位于任一勾2股2直角△的极点，如图五红色△所示。

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图五

这里“勾2股2直角△”是指，已知三数连线组成直角△，且其直角边王人占2方格。

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图六

以图六中三阶幻方为例求解如下：

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图七

依据三角性质，先细则图七红色三角形空缺处极点数字a3=(15+9)/2=12。

由性质4，细则蓝线中间数即中心数为a5=(14+12)/2=13，也即幻和为39。

再挨次求得a1=10，a2=17，a6=11，a9=16。

2、已知三数位于任一勾3股3直角△的极点，如图八红色△所示。

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图八

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图九

以图九中三阶幻方为例求解如下：

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图十

依据性质4，先细则图十红线空缺处数字即中心数a5=(8+12)/2=10，也即幻和为30。

再细则蓝线和绿线的中间数差异为a6=30-12-4=14，a8=30-8-4=18。

再挨次求得a1=16，a2=2，a4=6。

3、已知三数位于轻易并吞侧行（列），如图十一中红线所示。

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图十一

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图十二

以图十二中三阶幻方为例求解如下：

先求得幻和为18，也即有中心数a5=6。

挨次求得，a1=5，a2=10，a4=4，a7=9，a8=2。

4、已知三数位于任一勾2股3直角△的极点，如图十三红色△所示

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图十三

以图十四中三阶幻方为例求解如下：

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图十四

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图十五

依据性质1，求得图十五中紫斜线中间数即中心数a5=5，也即有幻和为15。

挨次求得，a2=9，a6=3，a7=6，a8=1，a9=8。

5、已知三数位于任一勾2股3直角△内且直角地点极点空缺，如图十六红色三角形a1未知，a2、a4和a7已知。

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图十六

以图十七中三阶幻方为例求解如下：

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图十七

依据性质1，细则图十八蓝色三角形处空缺数字a3=10+6-12=4。

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图十八

再依据性质4，细则中心数a5=7，也即幻和为21。

挨次求得，a1=5，a6=8，a8=2，a9=9。

6、已知三数，其中两数位于任一侧行(列)两头，另一数位于对应侧行(列)中间，如图十九红色三角形的极点所示。

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图十九

以图二十中三阶幻方为例求解如下：

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图二十

依据性质1，细则图二十一中蓝线中间数即中心数a5=31+23-29=25，也即幻和为75。

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图二十一

挨次求得a1=27，a3=19，a4=17，a6=33，a8=21。

五、中心数、幻和均未知的三阶幻方：已知三数、不定幻方

已知三数位于任一铁三角的极点，见图二红色三角形所示。

依据性质3，在铁三角极点三数，已知轻易两数，可求出另一数。因此，此情形虽已知三数，实质上是已知两数。

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图二十二

昭彰，图二十二幻方为不定幻方，因为幻和与中心数不细则。事实上，图二十二幻和，不错是任一大于便是30的数。

由性质3“三角性质”可细则a1=20。故图二十二幻方a1已知或未知，两者实质上无互异。因此即便a1=20已知，仍等价于a1未知情形，故其仍为不定幻方。究其原因为中心数与幻和不细则。

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